Grant: Discovery Grants Program - Individual

Ma proposition de recherche porte essentiellement sur l'arithmtique des corps de nombres. Je m'intresse plus particulirement au calcul de l'indice d'un corps de nombres, les nombres premiers qui le divisent ainsi que le nombre de classes pour les corps quadratiques. Un corps de nombres est un corps obtenu par adjonction au corps des rationnels Q , d'une racine dans C d'un polynme coefficients dans Q. Lorsque le polynme est irrductible sur Q , et est de degr n , le corps de nombres est de degr n sur Q . L'anneau des entiers de K est l'ensemble de tous les lments de K qui sont racines d'un polynme unitaire coefficient dans Z . L'indice d'un corps de nombres mesure en quelque sorte l'cart que l'anneau de K soit monogne, i.e. l'existence d'un lment dans A dont les puissances conscutives forment une base de A en tant que Z -module. Le calcul de l'indice d'un corps de nombres et les premiers qui le divisent sont des questions classiques en thorie des nombres qui restent encore non rsolues. Le premier avoir parl de ces premiers (appels facteurs communs d'indices) est le mathmaticien allemand Dedekind en 1878. Il n'existe cependant pas de mthode pour dterminer ces premiers ni pour calculer cet indice en gnral. Ce problme apparat comme problme 22 dans la liste des problmes ouverts dans le livre de Narkiwicz. Avec Ayad, nous avons fait beaucoup de progrs dans cette direction. Ces questions sont relies aussi au nombre de classes d'un corps de nombres. L'arithmtique d'un corps de nombres est intimement lie la factorisation des premiers dans son anneau d'entiers ainsi qu'au calcul du nombre de classes. part leur ct thorique, ces questions ont beaucoup d'impact en cryptographie (scurit informatique) et en thorie du codage. La dernire partie dans ma proposition porte sur la conjecture de la parit pour certaines courbes elliptiques. La thorie des courbes elliptiques tait un ingrdient fondamental dont la preuve de Wiles pour le dernier thorme de Fermat. Le calcul du rang d'une courbe elliptique reste encore un problme ouvert. Il existe une conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer qui prdit que le rang arithmtique d'une courbe elliptique est gal l'ordre d'annulation d'une certaine fonction L en s = 1, appel rang analytique. Cette conjecture semble loin d'tre rsolue. La conjecture de la parit prdit que le rang d'une courbe elliptique est pair ou impair selon le signe de l'quation fonctionnelle de L. Je m'intresse cette conjecture ainsi qu'au calcul du rang pour certaines courbes elliptiques relies aux problmes congruents.