Grant: Discovery Launch Supplement

Les mots sturmiens encodent la discrétisation des droites dans le plan par les symboles 0 et 1. Les mots sturmiens ont une structure combinatoire riche comprenant des palindromes, des répétitions et un nombre linéaire de facteurs. De plus, ils apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes combinatoires tels que les échanges de deux intervalles, le spectre de Markoff, les bases du groupe libres. Ainsi, généraliser les mots sturmiens sur des alphabets plus grands tout en essayant de préserver leur structure combinatoire est une question intéressante. Il n'y a pas qu'une seule généralisation des mots sturmiens. En effet, ils ont plusieurs définitions équivalentes et permettre de nouvelles lettres rend celles-ci incompatibles. Dans ce programme de recherche, nous étudierons l'une des généralisations appelées mots parfaitement amassants. Cette généralisation a une structure combinatoire riche et ils apparaissent naturellement dans plusieurs contextes liés aux mots sturmiens tels que les échanges d'intervalles, les bases du groupe libre et dans la description de certaines algèbres aimables. Nous proposons cinq objectifs de recherche principaux portant sur les mots parfaitement amassants. Premièrement, comprendre la structure combinatoire des mots parfaitement amassants et leur interaction avec les autres généralisations des mots sturmiens. Deuxièmement, définir une induction inspirée de l'énumération des mots parfaitement amassants. En effet, l'une des techniques utilisées pour construire les mots parfaitement amassants est une fonction récursive semblable à l'induction de Rauzy. Cette induction met en relation les mots sturmiens et les échanges de deux intervalles. Troisièmement, comprendre la structure des points fixes de ces morphismes sur le monoïde libre. Les mots parfaitement amassants peuvent être engendrés à l'aide de morphismes tout comme les mots sturmiens. La particularité dans ce cas-ci, est que les morphismes sont des morphismes du groupe libre plutôt que du monoïde libre. Les retombées de ce programme de recherche sont principalement au niveau de l'avancement des connaissances en combinatoire des mots, mais aussi dans d'autres domaines des mathématiques tels que l'algèbre et les systèmes dynamiques.