Grant: Alliance Grants

Modular forms have always been playing a very important role in arithmetic, and since the spectacular proof of Fermat Last Theorem by Wiles and Taylor, their role is more and more fundamental. The results of Tylor and Wiles are the most astonishing confirmation of a huge web of conjectures, collected under the name of Langlands program, which ties all branches of pure mathematics. More precisely, the Langlands program conjectures that certain classes of arithmetic objects (Galois representations), of analytic objects (automorphic forms), and of geometric objects (varieties and cycles) are in reality all the same. The bridges connecting these different worlds are called L-functions. They are analytic functions that can be associated with the three aforementioned types of objects, and two objects in two different worlds correspond if they have the same L-function. The aim of the project is to prove several high-impact results in this setting using p-adic methods. In particular, we will use methods of p-adic deformations, which involve the construction of "families", of automorphic forms, of Galois representation, of algebraic cycles or of L-functions, parameterized by padic spaces; we will use in particular the very recent Higher Coleman Theory developed by Andreatta, Boxer, Iovita, and Pilloni. We expect applications to the study of the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer for elliptic curves, Eichler--Shimura relations for families of automorphic forms, construction of Euler system, and application to Iwasawa Main Conjecture, and new modularity results. Les formes modulaires ont toujours joué un rôle très important en arithmétique et depuis ladémonstration spectaculaire du dernier théorème de Fermat par Wiles et Taylor, elles jouent un rôle deplus en plus fondamental. En effet, les résultats de Taylor et Wiles sont la confirmation la plusfrappante d'une énorme toile de conjectures, réunis sous le nom du programme de Langlands, qui lietoutes les branches de mathématiques pures. Plus précisément, le programme de Langlands dit que declasses des objets arithmétiques (représentations Galoisiennes), des objets analytiques (formesautomorphes), et des objets géométriques (variétés et cycles) sont en réalité tous les mêmes. Lesponts qui relient ces mondes différents sont appelés fonctions L. Elles sont de fonctions analytiques quipeuvent être associées aux trois types d'objets, et deux objets dans deux mondes distinctscorrespondent si ont la même fonction L. Le but du projet est de prouver plusieurs résultats de haute impact dans ce cadre utilisant des méthodes p-adiques. En particulier, on va utiliser des méthodes de déformation p-adiques, qui involvent la construction de "familles" de formes automorphes,representations de Galois, cycles algébriques ou fonctions L, paramétrées par des espaces p-adiques; on utilisera en particulier la toute récente théorie de Coleman supérieures de Andreatta, Boxer, Iovita et Pilloni. On envisage applications a l'étude de la conjecture de Birch and Swinnerton-Dyer pour les courbes elliptiques, relations de Eichler--Shimura pour families de formes automorphes, construction de systèmes d'Euler et application aux conjectures principals de Iwasawa, et nouveaux résultats de modularité.