Grant: Discovery Grants Program - Individual

Mon programme de recherche se situe dans le domaine des mathématiques discrètes. Il porte sur la combinatoire et la théorie des graphes. J'investiguerai plusieurs structures discrètes comme les polyominos, les polycubes, les langages formels et les graphes. Historiquement, ces objets ont été introduits et utilisés dans d'autres disciplines et ils se sont avérés des objets mathématiques riches proposant des problèmes difficiles. Ce sont ces problèmes qui m'intéressent. Compter est une activité aussi vieille que le langage écrit et sa forme moderne est une discipline relativement récente. Les combinatoriciens modernes ont développé des méthodes d'énumération d'ensembles surprenantes et puissantes qui produisent des résultats spectaculaires comme le résultat de Duminil-Copin et Smirnov sur les chemins auto-évitants dans le réseau hexagonal ([DS]). L'activité de comptage, qui semble à priori élémentaire, permet de découvrir des propriétés non triviales de nature algébrique, analytique et géométrique. Les polyominos ont été introduits en physique statistique ([Dh],[Gu]) comme modèle pour la percolation. Les polyominos sont simples à décrire et difficiles à compter. Un problème central sur les polyominos et leurs extensions est la détermination du nombre de polyominos à n cellules. Ce problème, toujours ouvert, a été attaqué avec différentes approches : génération informatique ([Je],[Kn]), évaluation asymptotique (KR]), génération aléatoire et description combinatoire ([BFR]). Les combinatoriciens ont concentré leurs efforts sur l'énumération de familles de polyominos et de polycubes ([AADH],[BFR]). J'ai participé à ces efforts ([BCG], [FLTG], [GC], [GCP], [GPW]) en proposant de nouvelles familles. Dans mes études, les résultats ont été obtenus à l'aide des outils formels récents de la combinatoire énumérative. Je veux poursuivre cette investigation qui a connu de récents succès avec la caractérisation géométrique d'une famille de polycubes ([BCG]). Les polyominos sont utilisés dans différents domaines comme l'origami [ABC] et la biologie moléculaire [VV]. Les polyominos parallélogrammes sont utilisés dans les fonctions Parking, les fonctions symétriques et les polynômes de Macdonald ([AADH]). Je veux utiliser la famille des polycubes arbres pleinement feuillus pour construire un nouveau  réseau moléculaire. Ce projet est une collaboration avec le chimiste A. Duong (UQTR) et l'informaticien A. Blondin Massé (UQAM). J'ai étendu mes travaux sur les  polycubes arbre pleinement feuillus à la théorie des graphes ([BCGLNV2]).  J'ai ainsi défini et investigué les sous-arbres induits pleinement feuillus d'un graphe quelconque et  investigué des familles de graphes ([ABG]). J'ai introduit la fonction feuille d'un graphe et sa dérivée discrète qui ont mené à une bijection ([BCGLNV1]) entre une famille de graphes et une famille de mots binaires connue ([FL]). Je  poursuivrai mes travaux dans ce domaine qui lie théorie des graphes et langages formels.